我们已经知道，信息冲击后的价格调整过程能用螺旋来表示。该调整螺旋随着时间而推进，因此可以视为三维现象。在金融市场,这些维度能以价格变动率、情绪水准和时间来表示。举例来说,图4.1为多头市场进人空头市场时理论上的调整过程。左边的图形代表价格变动与情绪之间的螺旋关系,但并没有“时间”的维度；右边的图形通过时间来表示对应“冲击波的价格调整,但没有“情绪”的维度。
螺旋的数学性质
由此推论，价格模式当然应该显示螺旋现象。我们将在第5与第6章就此做更详细的讨论。然而,这里有另一项非常重要的内涵。价格走势相互间应该具有数学上的关联性。其理由在于螺旋本身能以数学加以定义。
所有螺旋之来源都是某种形式的几何展开式。几何展开式中的每一位数字,都是前一个数字乘上某个固定比率所得。最明显者是所谓的“双倍数列”,级数中的每一项皆为其前项之两倍，即:
2,4,8,16,32 ,64,12....
此处的固定比率为2。即使从这个简单的例子中，也可以很明显地发现，比率越大,结果越具爆炸性。因此可以推断,如果螺旋实际上是一种“自然'现象(亦即是自然界的一部分),则该比率必须相当小，但可能大于1。
斐波那契数列
在自然界，能够发生且实际发生的所有几何展开式中,有一个尤其重要。那就是斐波那契数列,它根据1.618 之比率构成。这个数列的名字来自于莱奥纳尔多,他以斐波那契的笔名在1202年出版了著名的《算经》。该书引进了十进位制(该制以零为首位数字,有时又被称为印度一阿拉伯制)。虽然斐波那契无疑是中世纪最伟大的数学家，但有意思的是，目前人们还记得他主要是因为19世纪的分析家卢卡斯以他的名字来命名这个数列,实际上该数列只是《算经》中的一个支节问题而已。
斐波那契的兔子问题
这个问题借兔子的繁殖力来呈现——亦即，一对兔子在一年之内能够生产几对兔子?第一对兔子在第一个月生产,但接下来的每对兔子只能够在其后第二个月才能生产。每一胎有两只兔子。假设没有兔子死亡，则在第一个月生产一对,总共成为两对。在第二个月,第一对生产了另-对。在第三个月，原来的一对又生产了一对，而先前生下的一对也生产了一对，所以总共有三对成年兔子及两对新生兔子。如果继续分析,其结果会如表4.1,该数列(即斐波那契数列)明显应该是:
1,1,2,3,5,8,13,21 ,34,55 ,89, 44...
斐波那契数列与自然界
表面上看来,除了数学研究者或兔子饲养者外，没有任何人会对该数列生产兴趣!然而.数学家与科学家发现斐波那契数列之数学性质存在于整个自然界,界定了物理结构之表象与动态结构变化的进展。事实上，人类发现凡是与该数列有明显关联的现象，本质上能够取悦于人类的视觉与听觉。在进一步研究这个现象之前,必须仔细探索斐波那契数列的性质。
斐波那契数列的性质
其实,该数列具有三个重要性质。第一，数列中的每一项(第二项之后)皆为其前两项之和。亦即:
数列中的每一项(在某一项之后)可以用前面数项之线性组合来表示，这种数列被称为递归数列。斐波那契数列即为第一个著名的递归数列。
第二个性质是,数列的每一项除以其前一项所得到的比率约为1.618。更精确地说，连续两项的比率在1.618上下浮动。其与1.618的背离程度,在数列之前段大于后段。1.618之倒数为0.618。也就是说，数列中的每一项除以其后一项，比率约为0.618。
该数列的第三个性质是间隔项之间的比率为2.618. 而其倒数为0.328。因此，该数列中的任何一项除以其前二项，则结果为2.618;如果除以其后二项,则结果为0.382。同样，该比率的精确程度，在数列之后段高于前段。
最后,相同程序可以重复在相隔较远的任何二项之间。比方说,在斐波那契数列中，间隔两项之任何二项的比率为4.236,其倒数为0.236；间隔三项之任何二项的比率为6.853,其倒数为0.146;依此类推。
重要的斐波那契比率
因此，从斐波那契数列可以导出若干比率，而这些比率之间又有许多相关性:
但是,主要比率显然是1.618与0.618。其他比率基本上属于导出者。
黄金比率
数目1.618 即为“黄金比率”,在文献中通常以希腊字母φ来代表,它是第21个希腊字母。我们在后文将发现，黄金比率与污(等于2.236)之间具有重要的函数关系。明确地说,
几何中的黄金比率
黄金比率的观念延伸到几何学时,1.618的重要性就更明白了。首先,任何线段皆可如此切制，使得短线段与长线段之比率，等于长线段与整个线段之比率。该比率永远是1.618。如图4.2.其中
黄金矩形
其次，利用这条直线,令FA=AB,所建造的矩形ACDF ,则为“黄金矩形”其两边的相互比率为1.618。该矩形如图4.3。依据
其三,图形4.3中的矩形BCDE也是黄金矩形。依据假设,我们知道
如图4.3所示,黄金矩形的有趣之处在于它可以被切割成一个正方形与一个较小的黄金矩形。这表示图4.3中的矩形BCDE可以再切割为HCDE与BCGH。然后，BCGH又可以被切割为CGJI与BJH(参见图4.4)。
黄金矩形与黄金螺旋
在理论上,这个过程可以持续到无穷。结果出现一系列逐渐变小的正方形(在图4.4中为1.2、3、4等),任何一个正方形的面积与前一正方形面积呈等比关系，比率为1.618。 这一系列的正方形实际上呈螺旋状直到无穷。绘制一条连续线，衔接相邻正方形共同边上的点,则该螺旋效果可以更清晰地显示出来。其结果便是“黄金螺旋",如图4.5所示。
黄金螺旋之性质
黄金螺旋是对数螺旋，它具有两个明确的特性。第一,其始点与终点均至无限一因此它无界限,永远无法实际到达中心点。第二,其形状不会改变一由 理论中心点所延伸之任何直线,会以相同的角度与螺旋相交。因此，在图4.6中,螺旋上任何一点的切线与由理论中心点连接该点半径所形成的夹角为一个常数。
黄金螺旋与1.618息息相关,此外它还有两个特性值得强调。第一，由螺旋的理论中心点所引出的每一个半径，与其先前呈90 度(即逆时钟方向)之半径,两者的长度之比为1.618。第二,螺旋的每一个直径较先前呈90度的直径之比为1.618。
人体的黄金比率与斐波那契数列
黄金比率与斐波那契数列的重要性在于它们每每被发现存在于整个自然界中。首先，斐波那契数字被发现于人体结构内。人体拥有五个肢体(双手、双脚与一个头)；每只手脚皆有五个附属体(五只手指与五只脚趾)；头部三个隆起的部分(两耳与一个鼻子)，面部有三个突出的特征(两眼与-个嘴)。人类也具有五种味觉。在统计学上具有意义的人类样本中，由地面至肚脐的高度与身高的关系1.618。尤有甚者，人体内亦可发现对数螺旋:举例来说，内耳即呈螺旋状，而且左心室之心肌也是由螺旋所构成。
艺术品与建筑物的黄金比率
毫不奇怪,黄金比率的自然平衡与美感，长久以来已受到人们的认同。如果人们面对着一大堆四边形,从正方形到极狭长的矩形,多年人会选择与黄金矩形相近的形状。达芬奇(1452-1519)大量采用该比率于绘画作品中。与达芬奇同时代的波提切利(1446-1510)也使用该比率,丢勒(1471-1528)与普桑(1594-1665)亦是如此。尤有甚者，目前有大量文献明确显示,在各个时代中，黄金比率每每被应用在重要的建筑物上,以创造协调的外观。举例来说,该比率被应用于设计吉萨的薛波大金字塔；它也被应用在希腊的巴特农神殿中；现在被称为“歌德式建筑的大教堂,在设计中也应用了它。在判断所及的范围内，人类心灵与该比率相互共鸣。
树木与植物的斐波那契数列
黄金比率及其所根据的斐波那契数列可以在自然界的其他层面观察到。北方说，出现在树木与植物中的螺旋状叶序的现象,即反映了斐波那契数列。就树木而言,螺旋状叶序是指树枝与树干实体结构之间的关系。明确地说,我们发现树枝团结着树干，自然呈现一种螺旋形态。某特定树枝与其正上方树枝之间的树枝数目是斐波那契数字(3)。尤有甚者,树木的迂回路线，即追踪两枝树枝间的螺旋所发生者.其数目也是斐波那契数字。合成的资料(亦即迂回路线之数目与树枝之数目)可以用来说明螺旋状叶序的确切形式。橡树苹果树与山楂树之叶序为2/5；榉树与榛树之叶序为1/3；芭蕉、白杨与梨树之叶序为3/8;柳树与杏仁树之叶序为5/13。就花草而言,分析方式完全相同,只是上述概念用在叶子与叶柄的关系上。
花朵的斐波那契数列
其次，在花朵的结构中也可以发现斐波那契数列。向日葵是一个很好的案例一它不仅呈螺旋状叶序，而且花盘上种子的分布也呈现对数曲线。一组曲线弯向某个方向,另一组则向相反方向弯曲。每组曲线数目一定都是斐波那契数字。曲线的总数也是斐波那契数字。
贝壳的黄金螺旋
第三，在比较熟悉的例子中,类似蜗牛或牡蛎等软体动物的外壳上也有清晰的黄金螺旋。它们的外壳形态明确地反映其年生长率之变化,明确的信息是一它们越大，生长就越快!
斐波那契数列和宇宙
当然,还有很多其他例子:银河螺旋体的每一个支系都呈现对数形状，我们甚至发现悸动所产生的无线电信号也符合斐波那契数字。在恰为八年的周期里,金星出现五个规则性的隐伏。太用黑子循环所测量的周期几乎恰为5x45。其实,这种例子是无穷无尽的。然而重要的是,黄金比率、斐波那契数列与对数螺旋是自然界数学的基本部分。问题是:为何会如此?
黄金比率的哲学内涵
因为对数螺旋的起点和终点均为无限,几世纪以来,它们一直吸引哲学家的普遍关注。对数螺旋乃成长与衰败的终极定义，万物回归其本源，而且以新的形式再生。但是，以黄金比率为基础的螺旋具有一种特殊意义。黄金比率一直被视为代表“第一因”的原始分割一不仅该比率的两个要素与它们所分割之单一体之间具有直接关系，而且这两个要素之间互有差异,从而保留了创造力。
不论一个人的哲学信仰为何，黄金比率与斐波那契数列在物质世界的重要性是无可否认的。它们是否为宇宙蓝图动态系统的一部分,不得而知。但是,就最单纯的层面而言,自然界发现:根据黄金比率及斐波那契数列所设定的方式来建构自身，成长壮大,最为简单。这种概念理当正确。自然界并无必要实际计划其最终形态,它也没有必要将相关的比率或数目植人所有DNA分子结构中;这些数学是单纯成长系统中自动的副产品。
让我们以螺旋状叶序为例加以说明。展现这种现象的树木与花草,其枝与叶会逐一成长，每一枝或叶都会在既存的枝或叶当中，寻求最大的生长空间。这样就能使每一个部分,乃至整体获得最大的生存机会。它所产生的形态恰为斐波那契数列所界定。
以蜗牛外壳来说,其策略性生存需求也是如此，只是其战术性需求略有不同。显然,其外壳需要配合有机体成长,但如果蜗牛背上的外壳以长圆锥状扩张，便完全不切合实际需要。自然界的解决之道是让外壳外层的成长速度比内层快。内外两层之间成长速度之差异,自然导致了对数螺旋的发展。最终结果是出不同的生长率所造成的。
最后，“成功的”物种尽可能迅速拓展台乎自然界本身的利益。对数成长如斐波那契的兔子与此-致。但是,这并不意味着:对数成长本身是成功的原因。我们同样有理由认为,对数成长之存在，是因为成功孕育了本身的成功。
